Matematika suteikia tikslias zinias?

[house_armin]

Tema nera labai susijusi su forumu, tad iskart prisiimu kalte del offtopiko Bet manau kad siu klausimu idomumas tai atsvers ;]
Daugelis zmoniu sako, kad matematika suteikia mums nenugincyjamas zinias ir tiesas. Ar jus sutinkate su tuo? Kaip manote, kas yra tikslu ir kas nera tikslu? Pavyzdziui, ar matematikos aksiomos yra tikslios? Kas yra patikimiau: racionalizmas ar empiricizmas?
Euklidas sukure geometrija, kuri atitinka realybe. O kaip, pavyzdziui, yra su tikimybes teorijos aksiomom, nesu tikras ;]
Kaip pavyzdi pateiksiu Gödelio teorija, kuri teigia kad matematika yra nepilna (a.k.a. negali irodyti visko):
tarkim matematines sistemos taisykles A negali irodyti kad teiginys B yra teisingas. Bet jei A gali irodyti, kad B teiginys yra teisingas, vadinasi matematine sistema yra pati sau priestaraujanti. Jeigu matematine sistema nera sau priestaraujanti, vadinasi ji negali irodyti B teisinga, tuomet sistema yra nepilna.
Zinoma cia perfrazavau visiems (tikiuosi) suprantamais zodziais tai ka Gödel irode aukstaja matematika, su metamatematikos pagalba (kalba apie matematinius simbolius, santykius ir pan.) Butu idomu suzinoti ka manot.

[Lucas]

Sakyčiau, kad matematika parodo, koks yra dabartinis žmogaus pažinimas/suvokimas (pagal Wikipedia tai ,,mathema'' ir reiškia žinias/pažinimą), pvz.: jei neklystu (o jei klystu, tikiuosi būsiu pataisytas) antikoje žmonės skaičiuodavo iki kelesdešimt tūkstančių, o toliau nesivargindavo (juk kaip ir dabar, taip ir tuomet sunkiai suvokiamiems kiekiams yra terminas ,,begalybė''). Na o dabartinė žmonija skaičiuoja ten visokiais tetralijonais arba atvirkščiai - nano ir dar mažesniais skaičiais (daaaaug nulių po kablelio). Akivaizdu, kad mūsų dabartinė civilizacija yra pažengusi daug toliau, negu kad buvo antikoje. Taigi antikoje nebuvo nei žmonių kurtų kosminių zondų, nei jokių ekspermentų su protonais.
Ką aš noriu pasakyti, ogi tai, kad žmogui vis gilinant savo pažinimą, jis yra priverstas skaičiuoti vis didesniais/mažesniais skaičiais bei išmąstyti vis įvairesnes lygtis (juk ir ta pati matematika, sakyčiau, patobulėjo lyginant kad ir su ta pačia antika, pvz.: atrasta antimaterija įrodo, kad minusiniai skaičiai nereiškia mažo skaičiaus, o reiškia paprasčiausiai priešingą skaičių savo pliusiniam atitikmeniui, o mažą skaičių reiškią skaičiaus dalis, pvz.: 0,123456 - tai galima prilyginti tam, kad atomas turi savo sudedamąsias dalis).
Kaip antikoj taip ir dabar, mes nežinome ar materija gali turėti savo didumo/mažumo ribas, todėl atitinkamai ir turime tokius daugybę reikšmių turinčius abstrakčius skaičius kaip begalybė. Tačiau jeigu kadanors žmonija prieitų prie to, kad visgi materija turi savo didumo/mažumo baigtinę ribą, pvz.: būtų atrastos visatos ribos (žinau čia visiškai ,,į pievą'' pavizdys, na bet gal taip lengviau suprast ką turiu omenį), tai ta pati begalybė įgautų kažkokią tai baigtinę didžiausią reikšmę, nes didesnė reikšmė nebebūtų įmanoma, nes tai jau reikštų išėjimą už visatos ribų. Tačiau visgi jeigu žmonės pabandytų peržengti tą galutinę skaičiaus ribą - visatos ribą - ir jiems pavyktų, tai tuomet paaiškėtų, kad visgi toji dar didesnė reikšmė įmanoma ir tuomet begalybė kaip ir vėl nebetektų galutinės reikšmės, nes paaiškėtų, kad ji peržengiama.

Taip pat ne paslaptis, kad matematika tikrai lavina mąstymą.

Iš šitų savo blevyzgų darau tokią išvadą: žmonijos matematiniai sugebėjimai rodo jos dabartinį suvokimą ir padeda susigaudyti realybėje, nes tai padeda daugybę realybės niuansų perteikti skaičiais (nors, žinoma, ir skaičiai ne visagaliai - tai tik parodo, kad ir žmonija visko nesuvokia).

Į temos klausimą, remdamasis savo ,,blevyzgine'' išvada atsakau štai taip: matematika padeda prieiti prie tikslių žinių, nes ji paremta realiais žmogaus mąstymo pasiekimais, bet kai kuriais klausimais ji vis dar negali pateikti tikslių atsakymų, nes to dar nesuvokė pati žmonija. Kaip žmonija perteiks skaičiais tai, ko pati nesuvokia?

Ne visai į temą, bet pritaikoma mano ,,blevyzgoms'': kažkur skaičiau (berods ,,delfyje''), kad Afrikoje yra kažkokia nuo civilizacijos atsiskyrusi gentis, kur dar pusnuogiai laksto ir skaičiuoja šitaip: 1 , 2 , o toliau jau sako ,,daug''.

P.S. Atsiprašau, jeigu nevisai aiškiai perteikiau savo mintis - ne visada lengva perduoti žodžiais tai, ką turi galvoj.

[house_armin]

Nu daug tu cia parasei ;] Su kai kuriais dalykais sutinku. Man labiau idomus klausimas, is kur atsiranda aksiomos. Ar jos paremtos intuicija (kaip Euklido aksiomos) ar tik racionalu. Pavyzdziui, viena Euklido aksiomu teigia, kad jei kokie nors du dalykai yra lygus kitam treciam dalykui, tie du yra lygus vienas kitam. Cia paremta viskas tiek logika, tiek fizikiniu pasauliu. Ok, tada kitos aksiomos is tikimybes tarkim… jos nera paremtos realybe. Tuomet kas yra patikima ir kas ne? Ar matematika yra gryna logika ar tokie dalykai kaip vaizduote ir intuicija yra leidziami? Cia tokie filosofiniai klausimai pamastymui. Kad ir kiek begalvojant, man i juos lengvo atsakymo nera ;]

[Ezekiel]

Tikslus kai apskaičiuoja aiškiai determinuojamus procesus. Tikslumą gerai įrodo mechaninės ir elektroninės technologijos. Netiksli kai yra reikalai su dinamiškomis, iracionaliomis ir chaotiškomis sistemomis ar gal tiksliau tai yra titaniškas darbas aprašyti matematinėmis formulėmis. Matemtinė kalba yra labai svarbus dalykas, nes pvz. ką gali per sekunde vaizdiškai pademontruoti eiliniam žmogui, matematinis aprašymas gali būti sunkiai suprantamas ir net matematikams.

[idenmeyou]

Matematika lyg ir pamatas mūsų pasauliui, ji ypač praverčia kai skaičiuojame kiek gręžti, sukti ar spausti, kiekvienoje technologijoje yra apskaičiavimas skaičiais. Tiriant kokį daiktą skaičiuodami atgaline tvarka prisikasime prie kitų skaičių, mažesnių dalelių. Kai kalba sukasi apie visatą, astronominius kūnus dažnai sakoma begalybė, nesuskaičiuojamas kiekis ir sakyčiau matematika kuri remiasi pagrinde logika paprieštarauja pati sau, nes begalinis skaičius neturi nieko bendro su griežtai numatytu kiekiu, skaičiumi.

Matematika manau tampa bejėgė žiūrint platesniais visatos ar tų pačių dalelių mastais, jeigu ji negali nurodyti tikslaus skaičiaus ir pasiekia begalybė, tai įrodo, kad žmogus nepajėgus ištirti visiškai visatos skaičiais ir formulėmis. Manau užteko eksperimentų per akis kuomet matematinis skaičiavimas ir logika buvo visiškame neatitikime, labai dažnai gaunasi taip, kad visgi Dievas žaidžia kauliukais, o mūsų skaičiavimai tik tikimybė gal šįkart atspėsime.

[Bla]

Visų pirma, matematikos nereikėtų suprimityvinti ir suvokti tik kaip mokslo apie skaičius. Tiksliau būtų teigti "matematika - mokslas apie sąvokas". O matematika yra mokslas, nes paremta logika. Būtent iš logikos ir turime matematiką, kadangi pastarosios pagrindas yra logika.

Toliau žmogaus suvokimas apie matematiką turi tam tikrų spragų net ir šiais laikais. Pavyzdžiui, iki dabar mes nelabai suvokiame tiksliai, kas yra realieji skaičiai (o taip pat ir pati begalybė). Kam įdomiau plačiau, gali pasidomėti matematiko Norman Wildberger idėjomis: http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/ . Kai kam jis tiesiog yra "wrong on the internet" (nes kuria YouTube video, kurie neatitinka "mainstream" matematikų pasaulėžiūros), tačiau taip teigti būtų gan kvaila, nes jis yra įgijęs profesoriaus laipsnį, kas rodo, kad jis savo idėjas sugebėjo kažkuo pagrįsti, jas ilgai šlifavo ir dabar atskleidė. Gal ir klysta, bet pateikia tokį požiūrį, kuris reikalauja kai kurių aksiomų pagrindimo ar tiesiog vertas susimąstymo.

Būtent, jo požiūriu, kai kurios matematikos aksiomos pernelyg lengvai priimamos. Paprastas pavyzdys iš aksiomatikos:
1. A yra B
2. B yra C
Štai turime dvi aksiomas. Akivaizdu, kad, logiškai samprotaudami, iš šių aksiomų išvesime, kad A yra C. Tačiau kokia yra A, B ir C prasmė? Tegul A būna "elektronas", B - "nedaloma dalelė", o C - "nesunaikinama". Taigi, išeitų, kad elektronas yra nesunaikinama dalelė. Tačiau kas, jeigu paaiškės, kad elektronas visai nėra nedaloma dalelė, o sudaryta iš dar kitų dalelių (yra kvarkų teorija, kuri būtent tą ir teigia). Tada ar elektronas bus nesunaikinama dalelė? Nežinia. Tačiau bet kuriuo atveju tikra tiesa, kad iš aksiomatikos mes tikrai galime išvesti daug protingų išvadų. Juk dabar netgi galime kompiuteriais tą modeliuoti, o žmogus savo įžvalgumu nesunkiai tam sugeba ir prasmę suteikti. O štai pateiktas aksiomatikos pavyzdys akivaizdžiai klaidingas, nes iš anksto nenusakome, kas gi yra A, B ir C tiksliai.

Taigi, pagrindinė problema lieka aksiomų kūrimas. Pavyzdžiui, iki XIX amžiaus matematikai labai nedrąsiai kalbėjo apie begalybę, apie realiuosius skaičius. Net ir tokie grandai kaip Leibnicas, Niutonas, atskirai sukūrę diferencialinį skaičiavimą, apie begalybę nieko nekalbėjo, o savo pastebėjimus grindė geometrija. Jei kam įdomu, galite paskaityti Niutono "Principia Mathematica" - labai lengvai susiskaito iš tiesų ir net stebiesi, kaip toks skaitalas gali būti laikomas genijaus tekstu (atidus antrakursis studentas dabar geriau parašytų). Tačiau, kai supranti, kad tais laikais niekas taip nemąstė, tuomet suvoki, kad šis žmogus pralenkė savo laikmetį ir parašė kažką, kas tais laikais po parašymo buvo suprasta nesunkiai, tačiau iki to niekas taip net nemąstė. O štai begalybė - itin neapibrėžta sąvoka iki dabar. Remiamasi "epsilon-delta" notacijomis ir šitaip nustatomos ribos ir tariama, kad kažkokia riba štai bus begalybė, o kažkas - nulis. Tačiau šie kraštutinumai nėra pagrįsti jokia egzistuojančia realybe (arba to mes nematome).

Todėl Norman Wildberger labai kritiškai vertina begalybę, o taip pat ir realiuosius skaičius (pastariesiems egzistuoti būtinas begalybės pagrindimas arba galbūt ir atvirkščiai). Pavyzdžiui, mes puikiai suvokiame natūraliuosius skaičius. Tam daug suvokimo nereikia, nes net ir akmens amžiuje žmonės taip pradėjo žymėti. Tuo metu medžiotojai, norėdami atrasti geresnius medžioklės plotus, galbūt kažkokiu būdu ėmė žymėti gyvulių skaičių. Ir štai kažkas ar kažkurie žmonės sugalvojo, kad kokį nors šerną pažymėti brūkšniu, nubrėžtu ant uolos smailiu akmenimi. Atrodo, kas čia ypatingo, ar ne? Bet taip žmonės kiekvienoje medžioklės erdvėje jau žinojo prieš tai buvusį pastebėtų šernų kiekį. O štai tą vieną vienintelį brūkšnį jie pavadina "vienetu", net negalvodami apie jokius šernus, elnius, briedžius ar kitus laukinius gyvulius. Jiems vienetas tampa aukščiau viso to ir taip sukuriama abstrakcija. Po to kažkoks žynys pastebi, jog erdvės kiekis, užimamas tų visų brūkšnių, yra didesnis. Jie lyg ir žino, kaip pavadinti brūkšnius (keturi brūkšniai - "ketvertas", penki - "penketas"). Tačiau iš užimamos erdvės tas žynys pastebi, jog penketas yra daugiau už ketvertą, taigi, reikia daugiau medžioti "penketo" zonoje. Ir akmens amžiaus žmonės pastebi, kad toje erdvėje kažkaip daugiau laukinių gyvūnų. Taip jie supranta mažiau/daugiau ir lyginumo operacijų svarbą.

Akmens amžiaus žmonės, supratę to svarbą, pastebi, jog žmonių padaugėjo, nes jie vis geriau ir geriau išmoko prasimaitinti. Todėl jie pastebėjo, kad visai galėtų ne tik po vieną anksčiau senolių apibrėžtą zoną naršyti, bet paimti dvi ar daugiau zonų iš karto, tik norėtų šie žmonės, kuriuos dvejetus ar trejetus geriau naršyti. Žynys, ilgai pamąstęs, nustato, kad galima tuos seniau sužymėtus brūkšnius... Sudėti. O sudėjimas paprastas - visų brūkšnių perrašymas vienoje vietoje. Šitaip gimsta sudėties operacija. Vėliau žmonės suvokia, kad galima ir atimti.

Toliau, gimus dar daugiau žmonių, žmonės pastebi, kad atrasta maždaug 8 medžioklės plotai ir viename plote laukinių gyvulių skaičius visai kitoks nei likusiuose septyniuose, o štai trijuose - vienodas, o likusiuose keturiuose - irgi vienodas, tik didesnis už tuos trijuose. Žmonės, jau turėdami daugiau laisvo laiko, pradeda mąstyti, koks gi čia galėtų būti per sąryšis. Ir šitaip jie atranda daugybą - tai paprasčiausias sudėties kartojimas. Kita vertus, galbūt dalybos operaciją žmonės anksčiau atrado, kadangi resursų kiekis buvo labai ribotas ir reikėjo juos kažkaip padalinti žmonių bandose.

Čia gan suprimityvintas pavyzdys, kaip atsirado matematika, natūralieji skaičiai, operacijos su jais, bet labai tikėtina, kad buvo kažkas panašaus. Tą rodo vien tai, kad kultūros, tarpusavyje nebendravusios, turėjo itin panašų matematikos suvokimą (net atrastoje Amerikoje vėliau europiečiai suprato, kad majai, inkai, actekai jau turėjo matematiką).

O štai vėliau žmonės natūraliuosius skaičius, operacijas su jais išplėtė iki sveikųjų skaičių (nes mokėjo atimtį), racionaliųjų (nes jau mokėjo dalybą), o štai po racionaliųjų atsiranda kažkoks kuriozas - realieji skaičiai, kurių nuoseklumo principu mes pagrįsti taip ir nesugebėjome iki dabar...

Kitaip tariant, pati matematika gal ir nesuteikia tikslių žinių, tačiau jos taikymai tikrai suteikia. Tiesiog žmonės yra smalsūs, sąmoningi ir šitaip supranta daugiau negu to reikia praktiniame pritaikyme. Taigi, matematika yra tam tikras įrankis, kuris mums duoda daugiau galimybių.

[Lucas]

Ar matematika yra gryna logika ar tokie dalykai kaip vaizduote ir intuicija yra leidziami? Cia tokie filosofiniai klausimai pamastymui. Kad ir kiek begalvojant, man i juos lengvo atsakymo nera ;]

Pats sau filosofuodamas kartais net tokių dalykų išmąstai, kad, atrodo, net pats visatos egzistavimas atrodo kažkoks nelogiškas. Tad matyt vien tik logikos, kad ir kaip bebūtų gaila, mums gali neužtekti. Ta pati logika taip pat juk yra žmonių ,,produktas'', taigi, logiškai mąstant, logika nevisagalė, nes yra nevisagalio žmogaus proto produktas. Turbūt norint kažką atsakyti reikia ir tos pačios intuicijos, ir tos pačios vaizduotės bei, kaip kad rašė idenmeyou, tikėtis, kad atspėsime. Juk reikia sau suteikti bent menkiausią pagrindą